Родился 18 мая 1937 года в деревне Ново-Александровке Краснодонского района Луганской (тогда Ворошиловградской) области в семье рабочих. Окончил среднюю школу, Одесскую духовную семинарию и в 1956 году - Ленинградскую духовную академию.
По окончании академии Адриан Должиков был помощником заведующего библиотекой Ленинградской духовной академии и семинарии, с 1963 года преподавал, отвечал за прием иностранных делегаций.
18 января 1969 года митрополитом Ленинградским и Новгородским Никодимом рукоположен во диакона в Свято-Троицком соборе "бывшей Александро-Невской лавры", как тогда писали. 15 февраля того же года митрополит Никодим рукоположил отца Адриана во пресвитера в Николо-Богоявленском соборе.
Награжден в 1970 году наперсным крестом. 22 апреля 1973 года удостоен сана протоиерея. В 1978 году награжден палицей, в 1989-м - правом ношения креста с украшениями. В 1996 году награжден митрой, в 2005-м - правом служения Божественной литургии с отверстыми Царскими вратами до Херувимской песни, в 2010-м - правом служения Божественной литургии с отверстыми Царскими вратами до "Отче наш".
В 2001 году отправлен за штат по состоянию здоровья. Указом митрополита Владимира отцу Адриану было благословлено совершать богослужения в храме святого Георгия Победоносца в Купчине. В 2005 году стал штатным священником храма. В 2013 году вновь отправлен за штат по состоянию здоровья с сохранением права служения в Свято-Георгиевском храме.